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    MBA聯(lián)考數(shù)學(xué)從數(shù)列遞推到N球配對知識點

    2015-02-03 10:48 | 太奇MBA網(wǎng)

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      MBA管理類聯(lián)考數(shù)學(xué)知識點:從數(shù)列遞推到N球配對問題

      今天太奇MBA小編給MBA同學(xué)們整理出求簡單遞推數(shù)列通項公式的通用解法,并由此思路解一個老題

      以下記A(N)為數(shù)列第N項

      1、已知A1=1,A(N)=2A(N-1)+1,求數(shù)列通項公式

      解:由題意,A(N)+1=2[A(N-1)+1]

      即 A(N)+1是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列來源:www.examda.com

      因此 A(N)+1=2^N

      數(shù)列通項公式為 A(N)=2^N-1

      2、通用算法

      已知A1=M,A(N)=P*A(N-1)+Q,P《》1,求數(shù)列通項公式

      解:設(shè) A(N)+X=P*[A(N-1)+X]

      解得 X=Q/(P-1)

      因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)為首項,P為公比的等比數(shù)列

      由此可算出A(N)通項公式

      3、已知A1和A2, A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2),求數(shù)列通項公式

      解題思路:設(shè) A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]

      代入原式可得出兩組解,對兩組X,Y分別求出

      A(N)+X*A(N-1)的通項公式

      再解二元一次方程得出A(N)

      注:可能只有一組解,但另有解決辦法。4、現(xiàn)在用上面的思路來解決一個著名的問題:

      N個球和N個盒子分別編號從1到N,N個球各放入一個盒子,求沒有球與盒子編號相同的放法總數(shù)。

      解:設(shè)A(N)為球數(shù)為N時滿足條件的放法(以下稱無配對放法)總數(shù),易知A1=0,A2=1,當(dāng)N》2時,一號球共有N-1種放法,假設(shè)1號球放入X號盒子,在剩下的N-1個球和N-1個盒子中,如X號球正好放入1號盒子,問題等價于有N-2個球的無配對放法,放法總數(shù)為:A(N-2)

      在剩下的N-1個球和N-1個盒子中,如X號球沒有放入1號盒子,則可以把X號球看作1號球,問題等價于有N-1個球的無配對放法,放法總數(shù)為:A(N-1)

      因此有 A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]

      上式可變換為: A(N)-NA(N-1)=-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]

      按等比數(shù)列得出: A(N)-NA(N-1)=(-1)^N

      上式除以N!得出:

      A(N) A(N-1) (-1)^N

      ------- = ---------------- + -----------------

      N! (N-1)! N!

      把 A(N)/N!當(dāng)作新的數(shù)列, 把(-1)^N/N!也作為一個數(shù)列,則 A(N)等于數(shù)列 (-1)^N/N!從第二項到第N項的和再乘以N

      另外可得出:

      N球恰有K球與盒子配對的放法總數(shù)為: C(N,K)*A(N-K)

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